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分形漫步

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发表于 2006-1-19 23:15 |

分形漫步

来自:MACD论坛(bbs.macd.cn) 作者:雨过天青13 浏览:12300 回复:24

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分形漫步  
2003-9-22 阅读次数:1931次  


  分形的诞生:

  分形的创立也是基于一个巧合,颇似当年哥伦布发现美洲新大陆的意外收获。分形的创立者曼得勃罗特原先是为了解决电话电路的噪声等实际问题,结果却发现了几何学的一个新领域。海岸线具有自相似性,曼得勃罗特’就是在研究海岸线时创立了分形几何学。几何对象的一个局部放大后与其整体相似,这种性质就叫做自相似性。部分以某种形式与整体相似的形状就叫做分形。

  分形几何主要研究吸引子在空间上的结构,它和混沌有共同的数学祖先—动力系统。如果把非线性动力系统看成是一个不稳定的发散过程,那么由迭代法生成分形吸引子正好是一个稳定的收敛过程。有的混沌学家说,混沌是时间上的分形,而分形是时间上的混沌。

  分形具有五个基本特征或性质:⑴形态的不规则性;⑵结构的精细性⑶局部与整体的自相似性⑷维数的非整数性⑸生成的迭代性。

  下面是分形几何中最重要的几个例子:(1)Sierpinski地毯:从一等边三角形开始进行迭代操作,将其四等分,去掉中心的那部分,无限重复这种操作,最终所得的极限图形就是Sierpinski垫片。Sierpinski垫片是如此的完美,著名的巴黎埃菲尔铁塔正是以它作为平面图。虽然铁塔并没有把分形进行到无穷,但是它已经体现了这项工程的精彩,即在不损害结构强度的条件下完成了重力的转移。(2)Menger海绵 :从表面上看,海绵立方块是:

(Sierpinski)(Menger)

  一个立方体,是三维的,但它是以某一构造为基础而规则形成的许多孔洞的高度无序结构。在一定压力下它能压实在一个平面上,这时就是2维的。这说明表观看上去充实的立方体实际上是部分充实的3维结构,其真实维数大于2.0而小于3.0。所以可以说经典几何的整数维数只能反映物体的表观现象,而分形维数能刻画物体的内在特性。(3)曼德勃罗特集:它的数学模型非常简单。 连续放大Mandelbrot集合局部可以制作精美的GIF动画,放大过程所呈现的无穷玄机和美感引发人们去探索。取其局部进行放大,可以看到它的精细结构及其自相似性质,放大可以无限地进行下去。Mandelbrot集合局部放大过程 精彩地描述了分形的性质,描述了自然界的本质,可以说分形几何是真正描述大自然的几何学。





(Mandelbrot集)

  复杂与简单的统一:

  分形几何的主要价值在于它在极端有序和真正混沌之间提供了一种可能性。分形最显著的性质是:本来看来十分复杂的事物,事实上大多数均可用仅含很少参数的简单公式来描述。其实简单并不简单,它蕴含着复杂。分形几何中的迭代法为我们提供了认识简单与复杂的辩证关系的生动例子。分形高度复杂,又特别简单。无穷精致的细节和独特的数学特征(没有两个分形是一样的)是分形的复杂性一面。连续不断的,从大尺度到小尺度的自我复制及迭代操作生成,又是分形简单的一面.

  天才的猜想—迭代函数法:

  动力系统中的分形集是近年分形几何中最活跃和引人入胜的一个研究领域。动力系统的奇异吸引子通常都是分形集,它们产生于非线性函数的迭代和非线性微分方程中。分形体具有局部与整体的自相似性,对于有规分形,自相似性只存在于一定的范围内或在一定的标度空间中,复杂的分形图不能用传统数学方法描述,但却能用简单的迭代法生成,可以应用迭代函数系统生成诸如植物,丛林,山川,烟云等复杂的自然景物。

  分形—美丽新世界:

  “世界是非线性的”,分形无处不在。分形学科的诞生,使得我们重新审视这个世界。当人们用分形的观点重新审视自然物时,发现自然界的各种各样自然形态本质上都具有分形的结构。例如,地学方面:海岸线,岛屿,国界,山谷,河流,路面等弯弯曲曲凹凸不平的形状;生物方面:人的肺,血管,人脑,表面形状,大多数树木花草地分岔结构;在宇宙方面:天体在宇宙空间中的分布,月坑的直径分布以及作为月坑成因地陨石和小行星的大小分布,空中的云块边界雪花的表面;在物理化学方面:物体的表面由细微粒子集聚成的凝聚体,闪电,多孔吸附材料的表面,蛋白质高分子的结构……分形学家说,自然界处处有分形,这从物体形态结构方面说明,世界本质上的非线性。

  分形所呈现的无穷玄机和美感引发人们去探索,并为之感动。分形使人们感悟到科学与艺术的融合,数学与艺术审美上的统一,使昨日枯燥的数学不再仅仅是抽象的哲理,而是具体的感受;不再仅仅是揭示一类存在,而是一种艺术创作,它搭起了科学与艺术的桥梁。历史上笛卡尔和开普勒也是艺术家,前者是法国新时代小说的奠基人之一,后者写的登月科幻小说比凡尔纳的早得多,当然凡尔纳这位大师既懂艺术也懂科学。豪斯道夫不但在拓扑学上留下深深的足迹,也写过不错的剧本。列夫·托尔斯泰也懂得物理学和数学,并且编写过科学著作,还尝试将微积分运用到历史研究当中去。激素的想法首先是由法国作家巴尔扎克提出来的。卡罗尔的童话故事流露着新科学的天才猜想,并以更喜闻乐见的形式表达出来,流芳百世,其实他本来就是数学家和逻辑学家。至于达·芬奇、歌德和罗蒙诺索夫这样伟大的人物,我们甚至不好称他们是艺术家还是科学家。他们身兼二职,科学因素使他们的艺术更真实,艺术因素在他们的内心唤起自由和思想解放的精神。

  原来世界可以这样:

  分形打开了一个完全崭新和令人兴奋的几何学大门。这一新的数学领域,触及到我们生活的方方面面,诸如自然现象的描述,电影摄影术、天文学、经济学、气象学、生态学等等。它的应用是如此广泛,它的特性是如此迷人。我们拥有的这个新几何,甚至可以描述变化的宇宙。站在这个巨人的肩膀上,我们可以实现许多原来被我们视为奇异或是不可能实现的东西,不觉中人们感叹原来世界可以这样—

  由于分形能够用递推函数加以描述,所以用计算机生成的分形十分理想。特别是迭代函数系统具有很高的压缩比,可达1:1000,在图象及通讯方面具有广阔的应用。像电影《星际旅行Ⅱ:可汗的愤怒》中新行星的诞生以及《吉地的返回》中行星在空间飘浮等壮观的场面,就是由彼克沙公司在一台计算机上完成的。由计算机模拟制作的山峰,也已被IBM公司应用于广告宣传中。分形的视觉效果更使分形装饰布和分形壁纸必将成为人们日后的新宠。分形明信片和分形广告已推出了十多年,分形日历也早已问世。

  分形还能用于描述和预示不同生态系统的演化,有一些科学家认为分形几何有助于他们理解被观察的正常活细胞的结构和组成癌组织的病细胞的结构。所以通过建立与健康的或患病的组织相像的分形生长模型,科学家们也能够了解存在于基因密码的控制生长的信息,以及如果这种生长结果的信息被破坏时,癌组织是如何发展的。

  感动于分形的美妙,并受到一些文章的启发,我有几个随意的设想:1)将高精度分形图形具体应用在建筑设计中,将整面墙壁用一幅分形图装饰,甚至可以考虑逐级放大,装饰图形随套房逐步展开;或设计一座分形大厦,整个建筑的布局以及装饰都利用分形图形。 2)研究分形建筑陶瓷纹样、分形纺织纹样设计及其印染工艺。长沙马王堆汉墓出土的纺织品图案纹样很令人吃惊,图案设计大胆豪迈、热情奔放、生动流畅、不规则之中隐藏着高度的规则性、复杂的对称代替了简单的几何对称。这分明具有分形图形的气势、风格。3)设计分形时装。现代西方时装重色彩、质料而轻图案装点,而各国传统民族服装则正相反。对几何纹样的态度似乎是,西方重不规则、非对称图案,而各国传统服装重规则、对称图案(特别是伊斯兰社会)。





4)将分形图形用于信息加密防伪。 5)印制分形贺卡、明信片和小台历。


作者:北京大学数学科学学院 谭芳

签到天数: 6 天

发表于 2006-1-20 23:31 |
世界的门又开一点

签到天数: 73 天

结构深研究

发表于 2006-1-22 15:35 |
原来世界可以这样:

签到天数: 73 天

结构深研究

发表于 2006-1-24 12:17 |
分形的诞生

 楼主| 发表于 2006-1-25 15:52 |
江恩的秘诀之一就是:三角形!

签到天数: 213 天

发表于 2006-1-28 10:09 |
看贴回贴,尊重别人也是尊重自己 !

签到天数: 213 天

发表于 2006-1-30 15:05 |
看贴回贴,尊重别人也是尊重自己 !

签到天数: 1 天

缠学艾略特波浪看盘

发表于 2006-2-13 15:45 |
原来世界可以这样:

发表于 2006-2-13 17:01 |
提示: 作者被禁止或删除 内容自动屏蔽

发表于 2006-2-13 17:03 |
提示: 作者被禁止或删除 内容自动屏蔽

发表于 2006-2-13 17:07 |
提示: 作者被禁止或删除 内容自动屏蔽

发表于 2006-2-14 22:18 |
*** 作者被禁止或删除 内容自动屏蔽 ***

 楼主| 发表于 2006-2-17 15:50 |
原帖由 xgx588 于 2006-2-13 17:07 发表
混沌是时间上的分形,而分形是时间上的混沌。
五个基本特征
⑴形态的不规则性;
⑵结构的精细性
⑶局部与整体的自相似性
⑷维数的非整数性
⑸生成的迭代性。

:*19*:谢谢:)
请问是专业学这个的么?

可否具体展开讲解一下?:)

发表于 2006-2-21 22:19 |
分形的美妙

发表于 2006-3-5 19:12 |

学习.

:D:D:D:D:D

发表于 2006-3-23 22:48 |

学习。

:D:D:D:D

发表于 2006-3-25 13:06 |

遗传基因,

儿子想老子的特性,无限记忆,

 楼主| 发表于 2006-3-26 00:53 |
易学同样也涵盖了分形

s

发表于 2009-5-20 22:44 |
哈哈,终于找到了,谢谢雨版姐姐。~~~~

发表于 2009-5-20 22:44 |
终于找到了,谢谢雨版姐姐。~~~
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