第三 ……
“ 且慢 ” ，数学家说， “ 先别找太多的约束，看看这两条约束本身能够在多大程度上给出测度的定义好了。
”
呵呵，这就有意思了，这两条约束根本什么都没说。第一条是废话，第二条也是很显然的性质，要是只满足这
两条就可以叫做测度，那测度的定义也太宽松了，我随随便便就能构造出好多种不同的测度出来。
也许是这样，可是到时候再添上新的约束也不迟。这也是数学家们常用的办法，先定义尽量宽松的概念，然后
再一点一点的附加条件，得到更细致和特殊的子概念。就目前的情况来说，看起来这两条约束确实是宽松了点
。
但是事实也许出乎你的意料，这两条约束不是太宽松，而是已经太严苛了。我们可以证明，给直线的每个子集
都标上数字作为测度，保证空集的测度是零，并且测度满足可数无穷个集合的可加性，这件事情在逻辑上并无
内在的矛盾，但是这样的测度必然具有一些数学上非常古怪的性质。也就是说，这样的测度根本不能用来作为
对长度的定义！
（关于这件事的证明其实很简单，但是需要一点数学基础才能读懂，详情可以参考《 实变函数论 》这本书。关
于什么是 “ 古怪的性质 ” ，后面还会提及。）
在这种情形下，我们只好退而求其次，减少对测度这个概念的期望。 —— 可是前面提到的两条性质都再基本不
过了，如果连它们都不能满足，我们定义出来测度又有什么用呢？ —— 于是数学家们另辟蹊径，不是放松这两
条限制，而是放松它们的适用范围：我们不去强求测度能对直线的每个子集都有定义，也就是说，我们只挑出
直线的一些子集来定义测度，看看能不能避免逻辑上的困境。
需要挑出哪些子集呢？很显然，我们希望对于平时人们能接触到的各种常见的子集都能定义测度，所以单点集
是需要的，线段也是需要的，而若干线段的交集或并集（这里若干还是指至多可数个）也是需要的，对它们的
交集或并集再作交集或者并集也是需要的 ……
在数学中，我们把所有线段反复做交集或并集生成的这一大类集合称为可测集（当然它有更严格的定义，不过
大概就是这个意思）。不要小看这种生成方式，事实上，你能想象得到的直线的子集其实都是可测集， —— 要
找出一个非可测集的集合反倒是有点困难的事情。虽然可测集不包括直线的全体子集，但是如果我们能对所有
可测集定义合理的测度，那这个测度也足以应付人们的需要了。
幸运的是这确实是可以做到的。在测度论中有很大的一部分篇幅是用来论述测度是怎么对可测集得以建立的，
这部分内容一般被表述为一个称为 Caratheodory’s theorem 的理论。言简意赅地说：是的，只针对可测集定义的
，满足前面那两条假设的 “ 合理 ” 测度总是能够建立得起来的。
这里所谓的 “ 合理 ” ，就是说它能够用来作为我们心目中那个 “ 长度 ” 而存在。为了说明这一点，让我们
想想我们离我们的目的地还差多远：直到现在为止，我们还是完全不知道一个测度究竟是什么样子。举例来说
，按照我们的想法，一个单点集的测度应当是零（对应于点没有长度的直观），而实数轴上从 0 点到 1 点的线
段的测度应当是 1 ，更一般地，从 a 点到 b 点的线段的测度应当是 b-a ， —— 可是这一切我们统统还不知道呢
！
这一切确实还未曾得到说明，而且更关键的是，仅仅有前面给出的那两条假设，我们也确实无法推理得出上面
那些结论。这也是数学家们的通常做法：先有一个一般的概念，然后通过给它添上一些新的独立约束来构造出
更细致的概念。
我们现在已经有了一个一般的测度的概念，把它总结一下，就是说：
对于直线的一大类子集（也就是可测集，谢天谢地，我们在应用中真正关心的集合都属于可测集），我们能够
在不伤害逻辑的自洽性的前提下，给他们中的每个都标上一个数字，称为测度，并且这些数字满足下面两条性
质：
空集对应的数字（空集的测度）是零。
若干个（但是至多可数无穷个）彼此不相交的子集，它们并在一起得到的子集的测度，刚好等于这些子集各自
测度之和。
我们只知道这样的测度是存在的，但是很显然并不唯一，因为我们未曾对这些具体的数值作过任何限定。为了
使测度能够符合我们心目中的那个 “ 长度 ” 的概念，我们需要进一步添上一条需要满足的性质：
如果把直线看作实数轴，那么从数轴上 a 点到 b 点的线段（这是直线的一个子集）对应的测度应当等于 b-a ，例
如，数轴上从 2 到 3 的这一段线段的测度应该等于 1 。
乍一看这好像只是个不完全的限定，我们只规定了最简单的线段的测度，却没有规定剩下那许多奇奇怪怪的集
合的测度，可是好在有数学推理来替我们包办剩下的一切：只要添上这条约束，那么所有的可测集的测度的具
体大小就会以唯一不导致逻辑上的矛盾的方式被确定下来。也就是说，对于任何一个可测集，我们都有办法算
出它所对应的那个唯一可能的测度来。（怎么算的？如果你不想看到数学式子的话就别问了…… ）
需要说明的是，同样也是根据这三条，我们就能够发现单点的测度必须是零（否则就会导致计算上的矛盾）。
注意：这里的逻辑完全是数学的而不是哲学的，也就是说，我们是可以 “ 推导 ” 出单点的测度是零这样的结
论的。
各位看到这里可能会很疑惑，我究竟在干什么？我并没有回答事先许诺要回答的任何一个问题（为什么点的长
度是零而线段就不是，诸如此类），而是蛮横无理的把它们作为规定和规定的推论强制性的摆在这里，作为测
度的定义的一部分。这算什么回答？
请允许我把对此的解释放在后面，先暂且回到测度的定义本身上来。
前面说了，只要能满足头两条性质，我们就称定义出来的那个东西为测度，加上第三条只是为了让这个测度符
合我们对长度的具体数值的要求。也就是说，加上第三条性质后，我们定义出的应当只是测度中的具体某一种
，一般把它称为勒贝格测度（ Lebesgue measure ）。再强调一遍，正如前面所说的那样，勒贝格测度并不能定义
在直线的所有子集上而只能定义在其中的可测集上。但是我们在数学中和应用中能够遇到的集合差不多全是可
测集。
（那就总还有几个不可测集了？是的，确实存在一些特别诡异的集合是不可测集。关于不可测集的构造和性质
一直是数学上一个有趣的话题， —— 虽然并不重要，因为事实上在真实世界里我们遇不到它，它们只是作为抽
象的数学构造出现的。我们后面还会再次谈及这个问题。）
既然勒贝格测度只是测度的一种，那就是说，数学上是承认不同于勒贝格测度的更一般的测度存在的。这些测
度只满足三条性质的前两条，而未必满足第三条，也就是说，这些 “ 测度 ” 并不保证从 0 点到 1 点的线段的
测度是 1 ，甚至也未必保证单点集的测度是零。它们的性质可能和通常人们对长度的理解很不相同。
（为什么呢？既然明显和常识相悖，为什么还要保留这些人造的概念呢？）
这是因为，尽管数学家发明测度的概念的初衷确实只是想把 “ 长度 ” 的概念精确化和逻辑化，（事实上也确
实做到了，就是勒贝格测度），但是人们很快发现，那些更一般的测度虽然未必还符合人们对 “ 长度 ” 这个
词的理解，但是它们作为一种数学概念却能在大量的学科里得到应用，甚至成为很多理论的基础语言。一个最
简单的例子是概率论，这门古老的学科在测度论建立之后就完全被测度的语言所改写，以至于今天一个不懂一
般测度的人完全没办法研究概率论；另一个例子是著名的狄拉克测度（ Dirac measure ），这个曾经令数学家也
有点头痛的非正常测度在物理学和信号处理等领域里扮演了非常关键的角色。
—— 不过，这是后话了。
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发表于 2013-4-21 10:11
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