价值投资背后的数学原理（1）

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价值投资背后的数学原理（1）

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（1）

前面写过一篇短文《价值投资之理念感悟》，主要是从图形上进行价值投资的理念阐述。

本文是在前面图解的基础上进一步从数学本质上阐述价值投资理念，如果能想通这些简单的道理，我想将非常有助于投资人的理性和耐性的提高,而且也非常有助于真正投资人的业绩提高。

先看下面的简图，是前《价值投资之理念感悟》一文图形简化。

设定我们的本金为B元。将来结束本次投资活动时所得为Q元。

1、无安全边际买入和卖出

某股票起始价值为A元,将来某个时候卖出时，价值为J,如果我们按照价值A的价格买入，按照价值J的价格卖出，我们可以得出下公式：

Q=B/A×J =B×(J/A)

Q=将来所得（含本金）；     B=本金
A= 起始价值（买入价格）；  J=将来价值（卖出价格）

        
这是按正常价值买入，正常价值卖出时所得到的金钱。（含本金）

2、有安全边际买入和卖出

某股票起始价值为A元,将来某个时候卖出时，价值为J,如果我们按照A’的价格买入，按照J’的价格卖出，我们可以得出下公式：

Q’=B/A’×J’ =B×(J’/A’)。

Q’=将来所得金钱（含本金）；     B=本金
A’= 安全边际买入价格= mA        折价系数为m；
J’= 安全边际卖出价格= n J        溢价系数为n

上公式我们可以改写为：

Q’=B×[(nJ)/（mA)）= B×n/m×(J/A)

3、分析

我们现在来分析Q’ = B×n/m×(J/A) 公式，为了让将来所得Q’最大化，我们该怎么办？

第一点：提高B的数值

每个投资人在特定的买入时，这个本钱数值总是有限的。数值多少，看各自的财力多少而定。但有一条要注意，集中投资！把有限的本钱放在最好的投资上，回报率最高的投资上。不要过度分散金钱到一些平庸的股票上，这将是一种本金资源的浪费。关于集中投资，《价值投资之理念感悟》中已经有所阐述。集中投资的股票都应该具有下面第二点和第三点的特征。

第二点：提高n/m比值

这要求m值小于1，而且越小越好，n值大于1，而且越大越好。这一点说白了就是让你买价A’相对于当时的价值A来说，越低越好。同时也让你在将来某天卖出时，价格 J’相对于当时的价值J来说，越高越好（巴菲特说要过份高估，就卖掉）。这样，买入和卖出时安全边际都足够大。

本要点实质是安全边际的放大作用，其放大倍数是n/m，帮助提高收益。

第三点：提高J/A数值

J/A数值的含义是将来的价值是现在价值的多少倍。

当然，根据公式不难理解，只有业绩优良，长期能保持成长的企业，J/A数值才能足够的大。

本要点实质是价值增值倍数的放大作用。其放大倍数为J/A。

注意：企业选的不好，J/A比值随时间可能小于1，甚至破产变为0。这种情况，J/A起到损失本金的作用了。所以如果万一出现J/A小于1的价值损失情况，安全边际系数n/m如果大于1的话,会起到冲减损失幅度的作用，从而保护本金。

4、理解不同投资模式

下面我们根据公式   Q’ = B×n/m×(J/A)   来分析投资大师的投资哲学本质。

（1）格雷厄姆投资哲学中是强调了m值小于1，而且越小越好，总希望以便宜的要命的价格买入股票。同时在将来价格反映价值时（即：n=1）卖出股票。

他认为企业前途难以把握，价值增值（J/A比值是否真能过段时间远大于1）难以判断，所以并不推崇选成长股。

他的方法是只要价格足够低廉，m值足够小，不管企业性质（J/A）是好是坏，都买进，因此他买进的是一群股票，是典型的分散投资。为防止价格长时间的不能回到价值点位上的风险，他建议2-3年就卖出股票。当然价格回到价值点上（m=1），他就卖掉股票了。其投资公式可以改写如下：

Q’= B×1/m×(J/A)

注意：他不太研究J/A比值是否一定大于1的问题，也就是说价值增不增值并不是他关心的。

格雷厄姆的投资哲学本质上忽视了上面公式中的n值、B值、J/A值的对投资效果Q’的作用，而仅仅强调了m值。在m值很小的时候买进，当其等于1时卖出。

（2）费雪的投资哲学中，主要是强调了 J/A 比值的重要性，他会精心选择业绩优良，成长前景良好的企业，通过长时间集中投资，最大化B和J/A数值，从而取得优良的投资成果。虽然他也强调过购买时机的问题，但总的说来对n/m比较忽视，他的投资哲学中很少强调安全边际低价买入，价格过份高估卖出。他总是强调以合理的价格买入优质长期成长企业股票，抱牢直到企业企业变质或者发现更优良更成长的换股操作时候。其投资公式可以改写如下：

Q’= B×1/1×(J/A)

公式中1/1表示费雪并不太研究安全边际低价买入和过份高估卖出的问题。他的着重点总是在J/A数值上面。只要预估数值倍数足够满意，高低都抱牢。

费雪的哲学本质忽视了安全边际的放大倍数作用。

（3）而我们最伟大出色的投资家巴菲特老师，则是完全按照Q’ = B×n/m×(J/A) 来进行的投资操作的。

他在69年以前是秉承恩师格雷厄姆的投资哲学，在经历了大部分成功和少数几次失败后，逐渐受芒格影响，向费雪哲学进行学习，最终将二者的思想精髓有机的融合起来，形成了自己的独特投资风格。巴菲特曾经说过，我是85%的格雷厄姆和15%的费雪。这话是在早期说的。要是现在，应该是各占50%了。

首先，他找出业绩优良，长期保持成长的股票。然后待其价格有足够的安全边际的时候才买入，（取得足够低的m值）

在大部分时间内，他会和企业的长期成长期一起度过，（这样可以取得足够的价值增值J/A倍数。）

如果年份比较特殊，遇上价值特别高估的时候，他也会把股票卖掉（取得足够大的n值，比如1969年及1987年）。

另外，由于遵从费雪的集中投资理念，当发现好的长期成长(J/A)倍数股票，价格m值足够低的时候，他会成吨的购买！大大提高了本金B值的利用效率。因此巴菲特的投资理念是价值投资中投资效果Q’最好的。

（4）我们许多的散户，包括许多的基金机构，都是喜欢上涨的价格，而厌恶价格的下跌。他们购买股票的原因是因为涨了，以为将来短期内还能上涨，卖出股票的原因，是因为价格下跌，以为会一直跌到失去一切。他们往往没有价值的观念，而只有价格的不断的波动。在公式Q’ = B×n/m×(J/A)中，他们不管股票所代表的企业(J/A)值是否将会远大于1还是小于1，不懂得要在m值小于1且足够小的时候买入，也不懂得在n值大于1且过份大的时候卖出。事实上，往往他们做的是相反的事情，亏损几乎成为必然。总之，他们是以过去的价格走势来猜测未来的价格走势，和市场对赌，有时输，有时赢，在不断的缴税过程中，慢慢的失去了本金。

5、数据演算

（1）有无安全边际的差别

某股票假设现在价值估算为30元，根据各种信息知道企业将来肯定长期绩优成长，预计10年后，价值增值为90元。现在市场价格为30元，投资人手里的本金10万，则按无安全边际买入，

Q=B/A×J =B×(J/A) =10万/30×90=30万，10年后结束投资时的钱为30万。

投资回报率=30万/10万=3，开10（年）次方后等于1.116，减去1后得到年均投资回报率为11.6%。

如果投资人足够耐心，等到类似的股票价值为30元，但价格按18元买入，（m=0.6）。

10年后，价值增值为90元，但市场高估，投资人按130元卖出（n=1.44），则投资人Q’ = B×n/m×(J/A)=10万×1.44/0.6×90/30=72万。投资回报率=72万/10万=7.2，开10（年）次方后等于1.218，减去1后得到年均投资回报率为21.8%。

由上述计算，可以知道安全边际帮助我们的作用是非常之大。

这里需要指出的是：找到一个高成长公司需要等待慢慢发掘出来；在m小于1且非常之小买入而n值大于1且足够大卖出也需要等待这样的时机出现；实现价值极大的增值倍数(J/A)也需要等待公司不断成长；这真是一个需要耐心的过程！！

（2）价值增值倍数是否远大于1还是远小于1引起的差别

同样上述例子，安全边际被我们等到了，m=0.6，n=1.44，投资人本金为10万，但是由于当初没好好选股，10年后企业经营举步维艰，由买入时的内在价值30元仅仅变为20元，J/A=0.66，则Q’ = B×n/m×(J/A)=10×1.44/0.6×0.66=15.84万，投资回报率为4.71，回报率非常平庸，难以如意，当然如果我们没安全边际1.44/0.6保护，则我们的本金将会被侵蚀34%。

按照公式中的Q’ = B×n/m×(J/A) ，我们还可以进行其他情况的演算。比如m, n值的不满意，(J/A)值的小于1等情况。我们不再一一验证。

从公式Q’ = B×n/m×(J/A) ，中，我们更进一步的能理解安全边际、价值增值J/A、集中投资对一个成熟的投资人是多么的重要。价值投资的两大基石----价值增值和安全边际n/m构成了价值投资的本质原理。

所以，我们最应该学习的是三位大师的思想精华，当然最全面的是巴菲特了，除了数学上理解其投资逻辑，精神上也要有足够的定力，运用理性与耐性的力量，抑制人性中贪婪和恐惧的情感，达到最佳投资成绩。

---------------西蜀红尘

2009-06-23