测度和动力学1

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测度和动力学1

来自：MACD论坛(bbs.macd.cn) 作者：godbog 浏览：9653 回复：2

修正传统的哲学后，趋势等同于规律，规律伴随着事物而生，随着事物而死，并且随着事物变化而变化（如果

跟你学到的哲学相悖，我当另作说明）。所以，我们说，规律是过程的，趋势也是过程的。趋势的完全实现是

要经历事物从产生到结束的全过程。
假设我们找到了事物发展的趋势了，那么，有个问题，我们怎么去把握这种趋势呢，怎么去人为的定性、定量

的衡量他，进而应用他呢？这是个现实的问题，也是理论与实践相结合的关键所在。
定性很好分析，但定量是最难的，趋势测度论就是解决定量衡量趋势的学问。那么，这就要从测度这个概念说

起。要很好的理解这个概念，还得一点一点的解析。
实际上，我们现实生活中，已经自觉与不自觉的应用了各种规律，例如水往低处流，我们就在河流的下游筑起

大坝蓄水，一个长形物体，我们会潜意识的认为他有长度，石头有重量，纸张有面积，我们很少回去想这些想

法背后的产生机理，也很少有人能够准确回答出这个世界上为什么会产生“长度”，“面积”，“体积”等等

概念，这些概念恰恰都可以用一个词概括——测度。
测度这个词来源于数学，要想真正定义什么事测度，还得引入几个数学概念。
（一）关于无穷
提到无穷时，就是数量庞大的无边。但是，对于无穷，你应该还要了解这样一个概念。就是“无穷”可分为“

可数无穷”和“不可数无穷”，写到这里，你们可能会问了，无穷还有可数不可数的吗？是的，不要怀疑，虽

然无穷指的都是无穷的集合，但是他们可数与不可数会体现出截然不同的性质。这一点伟大的德国数学家康托

Georg Cantor 给了我们清晰的阐述。
为了完整的说明这个阐述，我们先引进集合的“势（ cardinality ）”的概念，也就是集合元素的个数。一个集合

有五个元素，我们就称其势为 5 。两个集合如果元素个数相等，我们就称它们为等势的。显而易见的，有限个

元素的集合是具有“势”的，那么问题来了，对于无穷个元素的集合呢？ 伟大的康托告诉我们，势也可以应用

到无穷个元素的集合上，我们同样可以讨论它们之间是否等势。换句话说，我们可以讨论两个无穷集合的元素

是不是一样多！
以下是一些最基本也是最著名的例子和命题，请尽量耐心的阅读。
每一个集合都和它自身等势。
全体正整数的集合和全体正偶数的集合等势。
第二个结论很有意思，为什么呢，也就是一个集合可以和它的一部分一样多！呵呵，这个是不是颠覆你的认知

了呢？其实不是的，我只所以会认为一个集合不能和它的一部分一样多，只是我把思维限制在有限集合上了，

对于无限集合就应该没有这种限定了。
全体正整数的集合和全体有理数的集合等势。
这个说明一个实数中的稠密集可以和一个离散集等势。
全体正整数的集合和全体实数的集合不等势。
注意啊注意，这个定理可是非常重要的。这个定理说明了什么呢？它说明全体正整数的集合和全体实数的集合

之间永远不能一一对应起来。这个定理是可以证明的，如果有人感兴趣的话，可以找相关书籍来看。通过这个

定理，我们就可以得到这样的一个结论：并不是所有的无穷集合都是等势的，有一些无穷集合比另一些无穷集

合的元素更多，换句话说，无穷之间也是有大小的。
任给一个无穷集合，我们都能够造出一个集合包含它，而且和它不等势。
换句话说，无穷和无穷相比，没有最大，只有更大。
如果两个集合都和第三个集合等势，那么它们彼此也等势。也就是势符合交换律。
有很多集合都和全体正整数的集合等势，从而它们彼此也等势，我们称所有这样的集合为 “ 可数无穷的（

countably infinite ） ” 。有很多无穷集合比全体正整数的集合的势更大，我们称所有这样的集合为不可数无穷的

（ uncountably infinite ）。但是，不存在无穷集合的势比全体正整数的集合的势更小。
那么，根据前面的叙述，全体正偶数的集合是可数无穷的，全体有理数的集合是可数无穷的，但是全体实数的

集合是不可数无穷的。
在不可数无穷集合中间，有些集合是和全体实数的集合等势的，这些集合被称为 “ 连续统（ continuum ） ”
好了，现在我们对全体无穷集合建立了一个简单的分类。最小的一类称为可数无穷集。剩下的都叫不可数无穷

集。不可数无穷集里面又有特殊的一类叫作连续统，剩下当然还有一些非连续统的不可数无穷集，但是它们几

乎和真实世界没有任何关系，所以就忽略了。
也就是说，我们真正关心的是两类特殊的无穷集合，一类称为可数无穷集，一类称为连续统。所有的可数无穷

集彼此等势，所有的连续统彼此等势，但是任何可数无穷集和连续统之间不等势，后者总是更大一些。
（二）测度的建立
让我们暂时放下关于无穷的那些讨论，回到主题：我们通常所说的长度、面积、体积这些词，究竟是什么意思

？
为了更清楚的阐明这个主题，让我们把目光只集中在最简单的一维情形，也就是说，我们只考虑 “ 长度 ” 这

个词。我们希望，取出直线上的一部分，就有一个 “ 长度 ” 存在。如果能做到这一点，那么类似的，面积和

体积之类的高维词汇也可以类似的得以理解。
那么，我们就要回答下面这个问题：
什么是长度？事实上，在数学中这个问题可以得到解答，但是首先让我们把上面问题里的 “ 长度 ” 这个词都

换成更准确的一个术语：测度(measure) 。之所以要采用这么一个新造的词，首先是因为 “ 长度 ” 有时候有局

限性。一个线段的长度好理解，一个复杂的点集，说长度就会显得很奇怪；不仅如此，在二维情形下我们还要

研究面积，三维还要研究体积，四维还要研究不知道什么积 …… 为了省去发明一个又一个新词的苦恼，我们把

这些东西统一叫做二维测度，三维测度 …… 。
那么，我们来定义 ( 一维 ) 测度。
给名词下定义，数学家有自己的一套逻辑，数学家们先不会贸然去说 “ 什么是测度 ” ，以免在逻辑上产生越

来越多的错误，而是在下定义之前，先想想这个定义的背后的目的，换句话说，我们想让这个定义实现哪些事

情？
首先，测度 —— 不管它具体怎么定义，其作用的对象按照我们的期望是直线上的任意一个子集，而最后得到的

测度应该是一个具体的数字。也就是说，所谓定义测度，就是我们需要找到一种方法，使得随便拿来直线上的

一个子集，我们都能够最终得到一个数字作为其 “ 长度 ”。 （在这里我们把无穷大也看成是数字，例如整根

直线的测度就是无穷大。）
然后，这种方法总要满足一些必要的约束。 —— 不能随便给一个线段标上一个数字，就说它是测度了。这些约

束有哪些呢？
第一，空集（注意是说空集而不是说单点集）本身也是直线的子集，也应该有个测度。我们应当保证空集的测

度是零。这是很显然的，否则这个测度就毫无实际意义了。
第二，既然每个子集都有一个测度，那么把两个彼此本身不相交的子集并在一起得到的新的子集也应该有个测

度，并且这个测度应该等于两者之和，也就是可加性 —— 这也是很直观的要求。两个线段如果不相交，那么他

们的总长度应该等于两者长度之和。更高维的情况也一样，两个二维图形如果不相交，那么总面积应当等于各

自面积之和，诸如此类。
更进一步，三个不相交子集的测度之和也应该等于这三个子集并起来的集合的测度，四个也对，五个也对，依

此类推，无穷个不相交子集的测度之和也应该等于把它们并起来得到的集合的测度。 —— 注意，是可数无穷个

！
为什么呢？直接说任意无穷个不好么？干嘛只限定是可数无穷个？
数学家是很谨慎的。上面这个性质被称为可数无穷个集合的测度的 “ 可加性 ” ，承认可数无穷个集合有可加

性是不得不为之，因为在实际应用中我们确实常常会遇到对可数无穷个子集求总测度的问题，可是任意无穷个

子集的测度也能相加，这个陈述就太强大了，我们一时还说不好测度有没有这么强的性质，还是先只承认可加

性对可数无穷个集合成立好了。

戊辰

那些方括号中的是什么！谢谢！

godbog

戊辰 发表于 2013-4-21 12:40
那些方括号中的是什么！谢谢！

我复制过来，就成这样了，也编辑不了